<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8">
<style type="text/css" style="display:none;"> P {margin-top:0;margin-bottom:0;} </style>
</head>
<body dir="ltr">
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255);">
Hi all,</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255);">
<br>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255);">
I bumped into a difference between type theory and set theory that I am somewhat struggling with in Agda.</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255);">
<br>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255);">
Consider a type D and its predicate indexed by natural number:</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255);">
<br>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255);">
P : ℕ → D → Set</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255);">
<br>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255);">
where for x : D, P i x means x is in the subset of D described by P i.<br>
</div>
<div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0);">
<br>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0);">
Now imagine P is cumulative, namely</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0);">
<br>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0);">
cumu : ∀ {i a} → P i a → P (suc i) a<br>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0);">
<br>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0);">
then sometimes, in set theory, we would conveniently take this index i to be \infty or omega and claim that such a subset is well-defined.
<br>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0);">
<br>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0);">
As you might have already noticed, this notion of taking a limit is difficult to formalize in a type theory. I can think of two tentative solutions:</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0);">
<br>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0);">
<ol>
<li><span>using Sigma type</span></li><li style="display:block"><span><br>
</span></li><li style="display:block"><span>P∞ x = ∃ λ i → P i x</span></li><li style="display:block"><span><br>
</span></li><li style="display:block"><span>This seems plausible, especially when we see this notion captures the fact that the set theoretic counterpart does implies for every
<span>P∞ x</span> some index i exists. However, a problem arises when we encounter two instances of
<span>P∞ x</span>. Then to use them, we must unpack them, and now we have two distinct indices with no explicit relation. Meanwhile in set theory, we actually disregard the difference of indices, because we are talking about infinity.
<br>
</span></li></ol>
<ol start="2">
<li><span>another tentative solution is to redefine P such that it takes Maybe ℕ and the nothing case represents infinity. But this solution has a big problem. There could be an x : D such that only (P nothing x) holds. In other words, P becomes larger than
 the limit of its set theoretic counterpart.<br>
</span></li></ol>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0);">
Is there any solution to this problem which encodes the set theoretic notion more faithfully?<br>
</div>
<div style="font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0);">
<br>
</div>
<div id="Signature">
<div>
<div></div>
<div id="divtagdefaultwrapper" dir="ltr" style="font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0); font-family: Calibri, Arial, Helvetica, sans-serif;">
<font size="3"><b>Thanks,</b></font></div>
<div dir="ltr" style="font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0); font-family: Calibri, Arial, Helvetica, sans-serif;">
<font size="3"><b>Jason Hu</b></font></div>
<div dir="ltr" style="font-size: 12pt; color: rgb(0, 0, 0); font-family: Calibri, Arial, Helvetica, sans-serif;">
<font size="3"><b><a href="https://hustmphrrr.github.io/">https://hustmphrrr.github.io/</a></b></font><br>
<font size="3"><b></b></font><font style="font-size:12pt" size="3"><span style="color: rgb(69, 129, 142);"><span style="font-family:trebuchet ms,sans-serif"><b><a target="_blank"></a></b></span></span></font></div>
</div>
</div>
</div>
</body>
</html>