<html>
  <head>
    <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8">
  </head>
  <body>
    Hi Thorsten,<br>
    <br>
    Your implementation is also what Orton and Pitts do in their
    internal model of cubical type theory:<br>
    <a class="moz-txt-link-freetext" href="https://doi.org/10.23638/LMCS-14(4:23)2018">https://doi.org/10.23638/LMCS-14(4:23)2018</a><br>
    <br>
    They rely on an additional axiom, the strictness axiom, to strictify
    MyGlue so that it actually extends T.<br>
    <br>
    Note that this implementation only relies on one direction of the
    equivalence. This is the only direction needed to form Glue (up to
    iso or relying on the strictness axiom) as a pre-type. The other
    direction is needed to make it Kan fibrant.<br>
    I am now puzzled by the fact that this means that you can define a
    non-Kan type in cubical Agda. I guess "Partial" is a non-fibrant
    type former? Does Agda somehow prevent the user to exploit
    Kan-fibrancy of types constructed using "Partial"?<br>
    <br>
    Best regards,<br>
    Andreas<br>
    <br>
    <div class="moz-cite-prefix">On 20/05/2020 11:34, Thorsten
      Altenkirch wrote:<br>
    </div>
    <blockquote type="cite"
      cite="mid:7331F869-B828-42BF-B9C5-2BCBB733D89B@nottingham.ac.uk">
      <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8">
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      <div class="WordSection1">
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt">Hi,<o:p></o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt"><o:p> </o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt">I am trying
            to understand the Glue construction better. I was wondering
            whether Glue just means that a certain pre-type is fibrant
            (i.e. admits composition, i.e. transp and hcomp). I was
            trying in agda<o:p></o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt"><o:p> </o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt">MyGlue : (A
            : Set) {φ : I}<o:p></o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt">     →
            Partial φ (Σ[ T </span>
          <span style="font-size:11.0pt;font-family:"Cambria
            Math",serif">∈</span><span style="font-size:11.0pt">
            Set ] T
          </span><span style="font-size:11.0pt;font-family:"Cambria
            Math",serif">≃</span><span style="font-size:11.0pt">'
            A) → Set<o:p></o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt">MyGlue A {φ}
            Te = Σ (PartialP φ λ o → fst (Te o)) (λ t → A [ φ
          </span><span style="font-size:11.0pt;font-family:"Cambria
            Math",serif">↦</span><span style="font-size:11.0pt"> (λ
            p → fst (snd (Te p)) (t p)) ])<o:p></o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt"><o:p> </o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt">I have
            switched off universe checking, hence Setw = Set. Basically
            I have used the domain of glue as the definition of Glue.
            However, this doesn’t seem enough to derive<o:p></o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt"><o:p> </o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt">ua : {A B :
            Set} → (p : A </span>
          <span style="font-size:11.0pt;font-family:"Cambria
            Math",serif">≃</span><span style="font-size:11.0pt">'
            B) → A ≡ B<o:p></o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt"><o:p> </o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt">because we
            need the extra definitional equality
            <o:p></o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt"><o:p> </o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal" style="text-indent:36.0pt"><span
            style="font-size:11.0pt" lang="DE">MyGlue A i1 (T , e) = T
            <o:p></o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt" lang="DE"><o:p> </o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt">Is there a
            way to avoid this? This is not a provable equality either, I
            think.<o:p></o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt"><o:p> </o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt">Cheers,<o:p></o:p></span></p>
        <p class="MsoNormal"><span style="font-size:11.0pt">Thorsten<o:p></o:p></span></p>
      </div>
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      <br>
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    <br>
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