<div dir="ltr"><div>Hi Andy,</div><div><br></div><div>When you define a datatype in Prop, the resulting type is automatically 'squashed', i.e. any two elements are equal. In contrast, for record types this is not possible because then it is impossible to define the projections. For your definition of ∃ in Prop, (true , _) is equal to (false , _) of type `∃ Bool (λ _ → ⊤)`, but their first projections are not equal. It would theoretically be possible to have such a record type but not give access to the projections and disabling eta-equality, but then you could've equally defined it as a single-constructor datatype.</div><div><br></div><div>-- Jesper<br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Wed, Jun 5, 2019 at 1:09 PM Andrew Pitts <<a href="mailto:andrew.pitts@cl.cam.ac.uk">andrew.pitts@cl.cam.ac.uk</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">Here is another question about Prop in Agda 2.6. Can anyone enlighten me?<br>
<br>
The documentation says<br>
<br>
"Just as for Set, we can define new types in Prop’s as data or record types”<br>
<br>
However, although Agda 2.6 allows the declaration of the following one-constructor datatype<br>
<br>
data ∃ {l m}(A : Set l)(P : A → Prop m) : Prop (l ⊔ m) where<br>
  _,_ : (x : A)(p : P x) → ∃ A P<br>
<br>
if instead I try to define a record type<br>
<br>
record ∃ {l m : Level}(A : Set l)(B : A → Prop m) : Prop (l ⊔ m) where<br>
  constructor _,_<br>
  field<br>
    fst : A<br>
    snd : B fst<br>
<br>
Agda complains (somewhat ungrammatically) that <br>
<br>
"Set l is not less or equal than Prop (l ⊔ m) when checking the definition of ∃”<br>
<br>
So it doesn’t mind the parameter (A : Set l) when defining a datatype in Prop (l ⊔ m), but does mind it when defining a record type.<br>
<br>
Why is that?<br>
<br>
Andy<br>
<br>
<br>
_______________________________________________<br>
Agda mailing list<br>
<a href="mailto:Agda@lists.chalmers.se" target="_blank">Agda@lists.chalmers.se</a><br>
<a href="https://lists.chalmers.se/mailman/listinfo/agda" rel="noreferrer" target="_blank">https://lists.chalmers.se/mailman/listinfo/agda</a><br>
</blockquote></div>