<html>
  <head>
    <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8">
  </head>
  <body text="#000000" bgcolor="#FFFFFF">
    Dear Jacques,<br>
    <br>
    You seem to suggest that the first component of your dependent pairs
    is going to be a type. Thus, it seems to me that what you are
    looking for is a parametric existential quantifier, as exists in
    System F, Fω, Haskell, ...<br>
    <br>
    Parametric quantification is certainly not available in vanilla
    MLTT/Agda, but is implemented in an experimental branch of agda,
    called agda-parametric:<br>
    * github branch: <a class="moz-txt-link-freetext" href="https://github.com/agda/agda/tree/parametric">https://github.com/agda/agda/tree/parametric</a><br>
    * example code: <a class="moz-txt-link-freetext" href="https://github.com/Saizan/parametric-demo">https://github.com/Saizan/parametric-demo</a><br>
    * corresponding paper: "Parametric Quantifiers for Dependent Type
    Theory", ICFP 2017, <a class="moz-txt-link-freetext" href="https://doi.org/10.1145/3110276">https://doi.org/10.1145/3110276</a><br>
    I emphasize that - as far as I understand - the Agda implementation
    (by Andrea Vezzosi) is purely for research and there are currently
    no plans for continued support or integration in the master branch.<br>
    <br>
    If you want to use vanilla MLTT/Agda, then the following theorem may
    come in handy:<br>
    <br>
    <blockquote>Any function in MLTT with small codomain, is parametric.<br>
    </blockquote>
    <br>
    (Some papers claim that ANY function in MLTT is parametric; this is
    true for a weaker definition of parametricity that is called
    continuity in our ICFP paper cited above, and that seems
    insufficient for your purposes.)<br>
    <br>
    What this boils down to is that any function of type<br>
    (p : ∑[ X \in Set ] P X) -> ... -> T,<br>
    where T : Set 0, will satisfy the property you are looking for: its
    output does not depend on the first component of p.<br>
    <br>
    This is proven metatheoretically in:<br>
    Atkey, Ghani, Johann, 2014, "<span style="left: 76.3802px; top:
      615.668px; font-size: 13.2835px; font-family: sans-serif;
      transform: scaleX(0.888169);">A Relationally Parametric Model of
      Dependent Type Theory.</span>"<br>
    Krishnaswami & Dreyer, 2013, "Internalizing Relational
    Parametricity in the Extensional Calculusof Constructions",<br>
    Takeuti, 2001, "The Theory of Parametricity in Lambda Cube."<br>
    <br>
    The theorem breaks down if you add axioms such as
    (non-exhaustively):<br>
    * choice / law of excluded middle: (X : Set) -> X + (X ->
    False)<br>
    * resizing axioms<br>
    <br>
    Best regards,<br>
    Andreas<br>
    <br>
    <div class="moz-cite-prefix">On 6/02/19 22:30, Jacques Carette
      wrote:<br>
    </div>
    <blockquote type="cite"
      cite="mid:6bcd3784-b5d8-bc25-f042-09d96021f099@mcmaster.ca">Is
      there a way to encode an existential in Agda where the "exists"
      part of the dependent pair is abstract/private?  ∃ from the
      standard library just says that the first part is implicit (i.e.
      can be uniquely inferred).
      <br>
      <br>
      I think I could use the same trick as in Haskell (i.e. use a
      wrapper where I don't export the constructor but do provide
      accessor functions that don't leak), but that somehow seems
      heavy.  Is there something simpler?
      <br>
      <br>
      I don't mean a fully non-constructive exists here: I mean
      (informally!) "a dependent pair where the first projection is
      abstract and cannot leak". So to build such a thing, a definite
      type must be used, but once it is created, the 'clients' as it
      were, cannot find out what that type is.
      <br>
      <br>
      Jacques
      <br>
      <br>
      _______________________________________________
      <br>
      Agda mailing list
      <br>
      <a class="moz-txt-link-abbreviated" href="mailto:Agda@lists.chalmers.se">Agda@lists.chalmers.se</a>
      <br>
      <a class="moz-txt-link-freetext" href="https://lists.chalmers.se/mailman/listinfo/agda">https://lists.chalmers.se/mailman/listinfo/agda</a>
      <br>
      <br>
    </blockquote>
    <br>
  </body>
</html>