<p dir="ltr">I&#39;m cc&#39;ing the homotopy type theory list as well.</p>
<p dir="ltr">To answer some of your questions:<br>
(a) I&#39;ve not seen this before.  It seems pretty neat!<br>
(c) This is, in some sense, the simplest part of computational univalence.  All of the thoughts I&#39;ve had about computational univalence go top down, saying what should happen when you do path induction on an equality from univalence.  But it&#39;s cool to see what you can do bottom-up.</p>
<p dir="ltr">-Jason</p>
<div class="gmail_quote">On Jan 17, 2015 2:33 AM, &quot;Alan Jeffrey&quot; &lt;<a href="mailto:ajeffrey@bell-labs.com">ajeffrey@bell-labs.com</a>&gt; wrote:<br type="attribution"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">Hi everyone,<br>
<br>
In the Agda development of Homotopy Type Theory at <a href="https://github.com/HoTT/HoTT-Agda/" target="_blank">https://github.com/HoTT/HoTT-<u></u>Agda/</a> the univalence axiom is given by three postulates (the map from (A ≃ B) to (A ≡ B) and its β and η rules).<br>
<br>
I wonder whether these postulates could be replaced by uses of primTrustMe?<br>
<br>
As a reminder, primTrustMe is a trusted function which inhabits the type (M ≡ N) for any M and N. It is possible to introduce contradictions (e.g. 0 ≡ 1) in the same way as with postulates, so it has to be handled with care. The semantics is as for postulates, but with an extra beta reduction:<br>
<br>
  primTrustMe M M → refl<br>
<br>
In the attached Agda code, primTrustMe is used to define:<br>
<br>
  private<br>
    trustme : ∀ {ℓ} {A B : Set ℓ} (p : A ≃ B) → (∃ q ∙ ((≡-to-≃ q) ≡ p))<br>
    trustme p = ⟨ primTrustMe , primTrustMe ⟩<br>
<br>
from which we get the map from (A ≃ B) to (A ≡ B) and its β rule:<br>
<br>
  ≃-to-≡ : ∀ {ℓ} {A B : Set ℓ} → (A ≃ B) → (A ≡ B)<br>
  ≃-to-≡ p with trustme p<br>
  ≃-to-≡ .(≡-to-≃ refl) | ⟨ refl , refl ⟩ = refl<br>
<br>
  ≃-to-≡-β : ∀ {ℓ} {A B : Set ℓ} (p : A ≃ B) → (≡-to-≃ (≃-to-≡ p) ≡ p)<br>
  ≃-to-≡-β p with trustme p<br>
  ≃-to-≡-β .(≡-to-≃ refl) | ⟨ refl , refl ⟩ = refl<br>
<br>
Interestingly, the η rule and the coherence property for β and η then become trivial:<br>
<br>
  ≃-to-≡-η : ∀ {ℓ} {A B : Set ℓ} (p : A ≡ B) → (≃-to-≡ (≡-to-≃ p) ≡ p)<br>
  ≃-to-≡-η refl = refl<br>
<br>
  ≃-to-≡-τ : ∀ {ℓ} {A B : Set ℓ} (p : A ≡ B) →<br>
    (cong ≡-to-≃ (≃-to-≡-η p) ≡ ≃-to-≡-β (≡-to-≃ p))<br>
  ≃-to-≡-τ refl = refl<br>
<br>
Note there&#39;s some hoop-jumping with private declarations to hide trustme from users, because:<br>
<br>
  (fst (trustme p)) → refl  (for any p : (A ≃ A))<br>
<br>
that is, all proofs of (A ≃ A) would be identified if we were allowed unfettered access to trustme. Instead, we only allow (≃-to-≡ p) to reduce to refl when (trustme p) reduces to ⟨ refl , refl ⟩, that is not only do we have (A ≃ A) but also that p must be the trivial proof that (A ≃ A).<br>
<br>
Now, this isn&#39;t a conservative extension of HOTT because it introduces extra beta reductions that were previously just propositional equalities, in particular:<br>
<br>
  (≃-to-≡ (≡-to-≃ refl)) → refl<br>
  (≃-to-≡-β (≡-to-≃ refl)) → refl<br>
  (≃-to-≡-η refl) → refl<br>
  (≃-to-≡-τ refl) → refl<br>
<br>
So questions... a) Is this re-inventing the wheel? b) Is this sound? c) Is there a connection between this and a computational interpretation of univalence?<br>
<br>
Alan.<br>
<br>_______________________________________________<br>
Agda mailing list<br>
<a href="mailto:Agda@lists.chalmers.se">Agda@lists.chalmers.se</a><br>
<a href="https://lists.chalmers.se/mailman/listinfo/agda" target="_blank">https://lists.chalmers.se/mailman/listinfo/agda</a><br>
<br></blockquote></div>